Etwas eklig fühlt sich die Seite "Der III. Weg" ja an, wenn man da liest:

Wer an Silvester einen guten Rutsch wünscht, wünscht dem Anderen nichts anderes, als einen guten, reuevollen und jüdischen Jahresbeginn. Dies entspricht weder unserem Kulturkreis noch unserem Brauchtum. Daher wünschen wir allen aufrechten Deutschen einen guten Start ins Kampfjahr 2016.
(Quelle: Der III. Weg)

Wie gesagt, klingt schon etwas gammelig, zumal wenn man weiter oben liest:

... Es ist beschämend, dass wir Deutschen dies als “Glückwunsch” benutzen. ...
(Quelle: Der III. Weg)

Nach dem ersten Ekel kommt aber Neugier auf, konkret kommen einem zwei Fragen in den Sinn:
Stimmt das?
Und wenn ja, warum sollen wir uns schämen?

Als Beleg für "stimmt das" wird Leeor Engländer aus der Welt zitiert

Keine Nation, außer wir Deutschen (anscheinend auch manche Österreicher und Schweizer), wünscht sich einen "guten Rutsch". Was wohl damit zu tun hat, dass die meisten nicht wissen, woher der Begriff eigentlich stammt. Das jüdische Neujahr heißt Rosch ha Schanah, wörtlich übersetzt "Kopf des Jahres". Auf Jiddisch wünscht man sich in der Zeit vor und nach dem Feiertag "a git Rosch" (einen guten Kopf). Man kann davon ausgehen, dass der "gute Rutsch" aus einem weitläufig missverstandenen "git Rosch" entstand.
(Quelle: Welt.de)

"Man kann davon ausgehen, dass..." ist allerdings kein starker Beleg, immerhin kann man Engländer zustimmen: Es klingt plausibel. Zweifel bleiben wenn man den Wikipedia-Artikel zum "Guten Rutsch" zu Ende liest und akzeptiert, dass es den "Guten Rutsch" erst seit 100 Jahren als Neujahrs-Wunsch gibt.

Aber zurück zum Jiddischen: Immerhin hat das Jiddische eine tausend Jahre alte mittelhochdeutsche Tradition - da ist es es nicht unwahrscheinlich, dass die Wurzeln des "Guten Rutsches" im Jiddischen liegen:

Es [gemeint ist: das Jiddische] ist nach allgemeiner Meinung eine aus dem Mittelhochdeutschen hervorgegangene westgermanische, mit hebräischen, aramäischen, romanischen, slawischen und weiteren Sprachelementen angereicherte Sprache.
(Quelle: Jiddisch in Wikipedia)

Allerdings ist die Herkunft aus dem Jiddischen möglich, aber nicht zwingend:

Ein anderer Erklärungsansatz ergibt sich durch die schon in älteren Wörterbüchern zu findende übertragene Bedeutung des Verbs „rutschen“ als „reisen“ und der Substantive „die Rutsche“ und „der Rutsch“ für „das Reisen“ oder „eine Fahrt“.
(Quelle: 'Guten Rutsch' in Wikipedia)

Bei "stimmt das?" bleibt es also ein Fragezeichen.

Warum wäre das aber "beschämend"?
Warum man sich einer tausend Jahre alten mittelhochdeutschen Tradition (das Jiddische) schämen sollte, müsste man mir mal erklären. Selbst Sprachpuristen würden an der Herkunft von Redewendungen aus dem Mittelhochdeutschen wenig auszusetzen haben. Ansonsten hätten sie wohl wenig Material mehr zum Begutachten, wenn alle Worte mit mittelhochdeutschen Wurzeln aus der deutschen Sprache auszumerzen wären.